Málaga province, drawn with Fourier epicycles
The maths behind the drawing
x(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kt) + bₖ sin(kt)]
y(t) = c₀ + Σ [cₖ cos(kt) + dₖ sin(kt)]
Each arm is one sinusoid: a vector that turns k times per full turn.rₖ = √(aₖ² + bₖ²) · φₖ = atan2(−bₖ, aₖ)
Málaga province at N = 150 · RMS path error 0.07 %
First harmonic amplitudes: x₁ = 62.8 km · y₁ = 42.8 km
Automatic sequence: N rises from 1 to 150; each turn adds harmonics and the outline sharpens. Move the slider to pick N yourself.
Square 1080 px MP4, 48 s and 10.6 MB, ready for social media.
Province outline: © OpenStreetMap contributors (ODbL), simplified to 80 m and resampled to 1,024 points evenly spaced along its 598 km perimeter. The pen starts in Málaga city. The yellow chain makes x(t), the teal one y(t), and the pen sits where their projections cross. See the boundary on OpenStreetMap
Wie Kreise eine Landkarte zeichnen
Jede geschlossene Linie lässt sich als Summe von Kreisbewegungen schreiben: das ist eine Fourier-Reihe. Hier wird dieser Umriss (Provinz Málaga) in zwei Reihen zerlegt, eine für die waagrechte Koordinate x(t) und eine für die senkrechte y(t). Jeder Term ist ein Vektor, der sich k-mal pro Umlauf dreht; aneinandergehängt bilden sie die beiden Ketten, und der Stift sitzt dort, wo sich ihre Projektionen kreuzen.
Mit einem einzigen Term (N = 1) entsteht nur eine Ellipse. Jeder weitere Term fügt Details hinzu: mit etwa einem Dutzend ist die Form erkennbar, und mit 150 beträgt die Abweichung 0,07 % der Diagonale.
Die Daten
Der Umriss stammt aus OpenStreetMap (© OpenStreetMap-Mitwirkende, ODbL). Er folgt der Küstenlinie und umschließt 7.317 km², praktisch die amtliche Fläche der Provinz. Für die Zeichnung wurde er auf 80 m vereinfacht und in 1.024 gleichmäßig verteilte Punkte entlang seiner 598 km zerlegt; der Stift beginnt in der Stadt Málaga.